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ISSN 1390-7778 (Versión Impresa)
ISSN 2528-8148 (Versión Electrónica)
YACHANA
Revista CientífiCa
Volumen 12, Número 2, Julio-Diciembre 2023
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Esta publicación está bajo una
licencia Creative Commons
Atribución-NoComercial 4.0
Internacional (CC BY-NC 4.0).
Resumen
El objetivo del presente artículo es probar
las hipótesis planteadas por la gerencia en
dos estudios de caso empresariales, para
lo cual se aplican pruebas estadísticas no
paramétricas de bondad de ajuste: Kol-
mogórov-Smirnov y Ji-cuadrada. En los
dos casos estudiados se busca la solución
mediante procedimientos estadísticos es-
tándar para cada una de las pruebas no
paramétricas de bondad de ajuste consi-
deradas en esta investigación. En uno de
los casos se ha comprobado que las soli-
citudes de los productos de la línea estre-
lla, por parte de sus clientes minoristas,
tienen una diferencia signicativa entre la
distribución de frecuencias observadas y
las esperadas o teóricas y, en el otro caso,
el nivel de cumplimiento de pagos del mi-
crocrédito por parte de sus clientes con
respecto al promedio de cumplimiento de
pagos del sector cooperativo en la zona
central del Ecuador es diferente. El estu-
dio demuestra la aplicabilidad y utilidad
de las pruebas de bondad de ajuste para
contrastar hipótesis relativas a estudios
de caso empresariales, las cuales pueden
apoyarse en herramientas informáticas es-
pecializadas que agilizan los tiempos de
procesamiento y ahorran costos signica-
tivos a las organizaciones, particularmen-
te en escenarios complejos como el gene-
rado por la actual crisis del COVID-19.
Palabras Claves: Estadística, Empresa,
Toma de decisiones.
Abstract
The objective of this article is to test
the hypotheses put forward by manage-
ment in two business case studies, for
which non-parametric statistical tests of
goodness of t are applied: Kolmogor-
ov-Smirnov and Chi-square. In the two
cases studied, the solution is sought using
standard statistical procedures for each of
the non-parametric goodness-of-t tests
https://doi.org/10.62325/10.62325/yachana.v12.n2.2023.844
Artículo de
Investigación
13/10/2022
28/03/2023
28/07/2023
Pruebas de bondad de ajuste Kolmogórov-
Smirnov y Ji-cuadrada aplicadas a la toma de
decisiones empresariales
Carlos Ernesto Flores Tapia
Karla Lissette Flores Cevallos
Kolmogorov-Smirnov and Chi-square goodness-of-t tests ap-
plied to business decision making
Ponticia Universidad Católica del Ecuador. Quito, Ecuador. cores@pucesa.edu.ec
Fundación Los Andes, Ecuador. Quito, Ecuador. karla.oresceva@alum.uca.es
http://orcid.org/0000-0002-1892-6309
http://orcid.org/0000-0003-0851-5319
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Pruebas de bondad de ajuste Kolmogórov-smirnov yPruebas de bondad de ajuste Kolmogórov-smirnov y
ji-cuadrada aPlicadas a la toma de decisiones emPresarialesji-cuadrada aPlicadas a la toma de decisiones emPresariales
Flores, C.; Flores, K.
YACHANA Revista Cientíca, vol. 12, núm. 2 (julio-diciembre de 2023), pp. 113-127
considered in this investigation. In one of the cases, it has been found that the requests for the
products of the star line, by their retail customers, have a signicant difference between the dis-
tribution of observed frequencies and those expected or theoretical and, in the other case stud-
ied, the level of fulllment of microcredit payments by its clients with respect to the average of
fulllment of payments of the cooperative sector in the central zone of Ecuador is different. The
study demonstrates the applicability and usefulness of goodness-of-t tests to contrast hypoth-
eses related to business case studies, which can be supported by specialized computer tools that
speed up processing times and save signicant costs for organizations, particularly in complex
scenarios, such as the one generated by the current COVID-19 crisis.
Keywords: Statistics, Business, Decision making.
Introducción
Los escenarios que rodean a las indus-
trias en el mundo globalizado del siglo
XXI, donde los adelantos tecnológicos y
cientícos están en constante evolución,
hacen que la exigencia de calidad de los
productos y servicios sea cada vez mayor.
En la actualidad, uno de los factores cla-
ves para el éxito de una industria es hacer
uso de toda su capacidad de conocimiento
y aprendizaje, así como de su experiencia.
La inferencia estadística mediante las
pruebas de hipótesis en el sector empresa-
rial es uno de los elementos que más puede
contribuir al aprendizaje y a la mejora de
los productos y procesos. En ese sentido,
la aplicación de la estadística se presenta
como una herramienta efectiva para enten-
der y optimizar la oferta de bienes y servi-
cios del sector empresarial.
Los estadísticos utilizados para la verica-
ción de hipótesis empresariales pueden ser
de tipo paramétrico y no paramétrico. Los
primeros parten del supuesto que las mues-
tras provienen de poblaciones con distribu-
ción normal, y los segundos son útiles si la
distribución de la que proviene la muestra
no está especicada o se ha probado que
no cumple con el supuesto de normalidad
(Anderson et al., 2016; Flores-Ruiz et al.,
2017).
En la presente investigación se procede con
el estudio de dos casos referidos a empre-
sas de la provincia de Tungurahua-Ecua-
dor que requieren la aplicación de los
métodos no paramétricos denominados de
bondad de ajuste mediante la prueba de
Kolmogórov-Smirnov y la Ji-cuadrada. En
el primer caso, Lascano Sánchez Importa-
ciones (2023) es una empresa ubicada en la
ciudad de Ambato-Ecuador, que se dedica
a la importación y comercialización mayo-
rista de bisutería, juguetes, cosméticos y
útiles escolares, principalmente; y los di-
rectivos necesitan saber si las solicitudes
de los productos de su línea estrella -bisu-
tería- por parte de sus clientes minoristas,
tiene o no una diferencia signicativa entre
la distribución de frecuencias observadas y
las esperadas o teóricas.
El segundo caso tiene como objeto de es-
tudio a la Cooperativa de Ahorro y Crédito
Ambato Ltda., organización del sector de
la Economía Social, ubicada en la provin-
cia de Tungurahua-Ecuador (Cooperativa
Ambato, 2023). La entidad está interesa-
da en mejorar su cartera de microcrédito
mediante la implementación de estrategias
que favorezcan su crecimiento y sosteni-
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Pruebas de bondad de ajuste Kolmogórov-smirnov yPruebas de bondad de ajuste Kolmogórov-smirnov y
ji-cuadrada aPlicadas a la toma de decisiones emPresarialesji-cuadrada aPlicadas a la toma de decisiones emPresariales
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Flores, C.; Flores, K.
bilidad. Esta iniciativa implica analizar el
entorno competitivo, para lo cual la geren-
cia considera que el punto de partida es
comparar la situación en cuanto al nivel
de cumplimiento de pagos del microcré-
dito por parte de sus clientes con respecto
al promedio de cumplimiento de pagos del
sector cooperativo en la zona central del
Ecuador; siendo esta una de las variables
clave auditadas por la Superintendencia de
Economía Popular y Solidaria para la res-
pectiva certicación.
Señalado lo anterior, el objetivo de la in-
vestigación es contrastar hipótesis relativas
a estudios de caso empresariales, mediante
pruebas no paramétricas de bondad de ajus-
te, Kolmogórov-Smirnov y Ji-cuadrada que
permitan la optimización de las decisiones
en la gestión de pedidos -Lascano Sánchez
Importaciones- y en la administración de
estándares de morosidad -Cooperativa de
Ahorro y Crédito Ambato Ltda.-
En consecuencia, el presente estudio pre-
tende dar respuesta a la pregunta: ¿las prue-
bas de bondad de ajuste son útiles o no para
la toma de decisiones empresariales en los
casos en los cuales se requiere comparar
los conteos observados y los esperados, a
partir del mismo conjunto de datos? En los
dos casos estudiados se busca la solución
tanto por procedimientos convencionales
para cada una de las pruebas no paramétri-
cas de bondad de ajuste contempladas en
esta investigación y mediante software. A
continuación, se revisa la literatura, luego
se establece la metodología y aplicación
del procedimiento de prueba de hipótesis
y, posteriormente, se presentan los resulta-
dos, la discusión y las conclusiones.
Los métodos no paramétricos son estadís-
ticos utilizados para probar hipótesis en las
cuales los datos no siguen la distribución
normal u otra forma especíca, razón por
la cual se las conoce también como prue-
bas de distribución libre. Entre las pruebas
no paramétricas se pueden distinguir dos
grupos: las de análisis de datos ordenados
y las de bondad de ajuste destacándose en
el primer grupo la prueba de Signos, Wil-
coxon, Mann-Whitney, Kruskal-Wallis
y Friedman, mientras que en el segundo
grupo la prueba de Kolmogórov-Smirnov
y Ji-cuadrada (Flores & Flores, 2022; Lind
et al., 2012).
En los métodos no paramétricos los datos
responden, por lo general, a variables no-
minales y ordinales, antes que de intervalo
o razón o se cuenta con pocos datos. Ade-
más, suele ocurrir que los datos no cum-
plen con los requisitos de normalidad o no
es necesaria una suposición con respecto
a la forma de la población, nivel de me-
dición y de homogeneidad requeridos para
la aplicación de pruebas paramétricas -Z,
t student, F o ANOVA-. En consecuen-
cia, los métodos no paramétricos resultan
apropiados como alternativas a las pruebas
paramétricas. Sin embargo, se puede seña-
lar como su principal desventaja la pérdida
de agudeza en la estimación de intervalos
a cambio de la posibilidad de usar menos
información y cálculos mucho más rápidos
y menos laboriosos (Escobar, 2019).
Hechas las consideraciones anteriores, las
pruebas de bondad de ajuste contempladas
en este artículo evalúan en qué medida los
datos observados se ajustan a una distribu-
ción teórica o esperada, para lo cual se uti-
liza una situación hipotética y datos simu-
lados. En este tipo de medición los datos se
clasican en categorías sin un orden natural.
Prueba de Kolmogórov-Smirnov
Se trata de una prueba no paramétrica que
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Pruebas de bondad de ajuste Kolmogórov-smirnov yPruebas de bondad de ajuste Kolmogórov-smirnov y
ji-cuadrada aPlicadas a la toma de decisiones emPresarialesji-cuadrada aPlicadas a la toma de decisiones emPresariales
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compara la función de distribución acumu-
lada empírica de los datos muestrales con
la distribución esperada como si los datos
fueran normales. Se caracteriza porque
plantea hipótesis de bondad de ajuste, el
nivel de mediada de las variables es de tipo
ordinal, pocas restricciones, se aplica a
pruebas pequeñas. Se utiliza también para
vericar que los datos sigan la distribución
normal. Su objetivo es señalar si los datos
provienen de una población que tiene la
distribución teórica especicada, es decir
lo que hace es contrastar si las observacio-
nes podrían razonablemente proceder de la
distribución especicada. En ese sentido,
Kolmogórov-Smirnov -KS- pretende res-
ponder a la pregunta con respecto a si las
observaciones de la muestra provienen o
no de alguna distribución hipotética.
La prueba KS es otra de las medidas de
la bondad de ajuste de una distribución
de frecuencia teórico -normal, uniforme,
de Poisson o exponencial-, al igual que
la prueba Ji-cuadrada. No obstante, entre
las principales ventajas de KS con respec-
to a Ji-cuadrada se destaca porque es una
prueba mucho más potente y de fácil uso,
por cuanto no es necesario que los datos se
agrupen de una manera particular y tam-
poco requiere mayor aplicación aritmética
para su cálculo. Es decir, KS busca las dis-
tribuciones acumuladas relativas para las
frecuencias observadas y las esperadas y,
posteriormente, comprueba que tan lejos
están la una de la otra. Si dicha distancia
no es signicativa, se concluye que la dis-
tribución teórica describe bien la distribu-
ción observada.
El estadístico de la prueba Kolmo-
górov-Smirnov, cuya notación usualmente
es Dn, permite analizar la cercanía entre la
distribución de las frecuencias observadas
con respecto a la distribución de frecuen-
cias esperadas, debido a que la distribución
de probabilidad Dn depende del tamaño
muestral, pero su distribución de frecuen-
cias esperadas es independiente. KS es el
de tipo de pruebas de una cola porque lo
que prueba es si las diferencias son mayo-
res que el nivel especicado.
El estadístico KS viene dado por la Ecua-
ción 1, esto es la desviación absoluta máxi-
ma de la diferencia entre la frecuencia es-
perada y la frecuencia observada.
Dn = máx | Fe - Fo | (1)
Donde:
Dn: estadístico Kolmogórov-Smirnov
Fe: frecuencia esperada.
Fo: frecuencia observada.
Las hipótesis contrastadas son:
H0: las distribuciones de frecuencias
esperadas y la de frecuencias observa-
das tienen la misma distribución. Buen
ajuste
H1: las distribuciones de frecuencia es-
peradas y observadas son diferentes.
Mal ajuste.
Prueba Ji-cuadrada
La prueba de Ji-cuadrada para datos de
frecuencia conjunta analiza si las varia-
bles están asociadas o son independientes,
mientras que para las tablas de dos o más
factores -también denominadas tablas de
contingencia-, se procede con el análisis
de tabulación cruzada. En los dos casos,
los datos están categorizados por una o
más variables cualitativas o categóricas y
se pueden determinar los conteos o por-
centajes para las combinaciones de catego-
rías entre dos o más variables cualitativas
-escala nominal- e indagar la relación en-
tre dichas variables, determinándose si la
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ji-cuadrada aPlicadas a la toma de decisiones emPresarialesji-cuadrada aPlicadas a la toma de decisiones emPresariales
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proporción de observaciones de cada cate-
goría diere signicativamente o no de las
proporciones que se especiquen -iguales
o uniformes para todas las categorías, una
proporción diferente para cada categoría o
denir conteos históricos para cada cate-
goría-.
La prueba Ji-cuadrada se utiliza tanto para
frecuencias esperadas iguales como des-
iguales, tomando cuidado cuando se tienen
únicamente dos celdas que la frecuencia
esperada en cada una sea de -al menos- 5
y no se utiliza Ji-cuadrada si más del 20%
de las celdas de frecuencia esperada tie-
nen frecuencias menores a 5. Además, se
pueden comparar frecuencias observadas
agrupadas en distribuciones de frecuencia
con las esperadas y determinar si los ele-
mentos muestrales provienen o no de una
población normal -prueba de bondad de
ajuste para determinar la normalidad-.
Las principales características de Ji-cua-
drada son: su valor nunca es negativo
-pueden ser cero o positivos-, tiene sesgo
positivo en lugar de ser simétrica como en
las distribuciones t y normal, los datos de-
ben agruparse en categorías o clases y si no
lo están originalmente es necesario cons-
truir la tabla de frecuencia correspondien-
te, es diferente para cada número de grados
de libertad y a medida que se incrementa el
número de grados de libertad la distribu-
ción se aproxima a la distribución normal.
La prueba de bondad de ajuste Ji-cuadrada
puede ser utilizada para tanto con distribu-
ciones discretas tales como la distribución
de Poisson o la distribución binomial como
con distribuciones continuas, por ejemplo,
la distribución normal y exponencial; di-
ferenciándose de las pruebas de bondad
de ajuste Kolmogórov-Smirnov y Ander-
son Darling que únicamente trabajan con
distribuciones continuas.
La fórmula de cálculo del estadístico chi
cuadrado utilizado en la prueba de bon-
dad de ajuste Ji-cuadrada corresponde a la
Ecuación 2.
(2)
El subíndice c corresponde a los grados de
libertad, Oi es el valor observado para la
clase i-ésima y Ei el valor esperado de la
clase i-ésima. Siendo las hipótesis para la
prueba de bondad de ajuste Ji-cuadrada las
siguientes:
H0: no hay diferencia entre el conjunto
de frecuencias observadas y el conjun-
to de frecuencias esperadas.
H1: hay una diferencia entre el conjunto
de frecuencias observadas y el conjun-
to de frecuencias esperadas.
Si se rechaza la hipótesis nula y se acepta
la alternativa signica que las preferencias
no se distribuyen de igual forma entre las
categorías (celdas) contempladas en el ex-
perimento.
Para el análisis de tablas de contingencia
las hipótesis pueden formularse así.
H0: no hay relación entre las variables
nominales consideradas, son indepen-
dientes.
H
1
: hay relación entre las variables no-
minales consideradas, son dependientes.
Si se rechaza la hipótesis nula y se acepta
la alternativa signica que las preferencias
no se distribuyen de igual forma entre las
categorías (celdas) contempladas en el ex-
perimento.
Para el análisis de tablas de contingencia
las hipótesis pueden formularse así.
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Pruebas de bondad de ajuste Kolmogórov-smirnov yPruebas de bondad de ajuste Kolmogórov-smirnov y
ji-cuadrada aPlicadas a la toma de decisiones emPresarialesji-cuadrada aPlicadas a la toma de decisiones emPresariales
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H0: no hay relación entre las variables
nominales consideradas, son indepen-
dientes.
H
1
: hay relación entre las variables no-
minales consideradas, son dependientes.
Para la comprobación de hipótesis de las
pruebas de Kolmogórov-Smirnov y de
Ji-cuadrada se dispone de paquetes de sof-
tware tales como: Minitab, SPSS, R, Ex-
cel, Stata y Gretel, principalmente (Guja-
rati & Porter, 2009).
Materiales y método
La presente investigación es de tipo cuan-
titativo, caracterizado según Robbins y
Coulter (2018) por el uso de “ herramientas
estadísticas, modelos de optimización, mo-
delos de información y simulaciones por
computadora a las diferentes actividades
de la administración para la toma de deci-
siones” (p. 32). El alcance de la investiga-
ción es explicativo porque el estudio anali-
za las causas, condiciones y resultados de
los casos de estudio (Hernández-Sampieri
& Mendoza, 2018) y se ajusta a la meto-
dología de la investigación de operaciones
aplicada a la optimización de inventarios
en el caso de una empresa importadora y a
la mejora de los estándares de morosidad
en el caso de una cooperativa de ahorro y
crédito. Se siguieron, de acuerdo con los
autores Flores y Flores (2021a), Hillier y
Lieberman (2010) y Taha (2017), las fa-
ses de la investigación de operaciones que
constan en la Figura 1.
En el estudio se aplicaron técnicas estadís-
ticas descriptivas y técnicas estadísticas
no paramétricas de bondad de ajuste -las
pruebas no paramétricas se utilizaron una
vez que se comprobó que los datos no si-
guen la distribución normal-. En efecto,
se aplicaron dos pruebas no paramétricas
-Kolmogórov-Smirnov y Ji cuadrada-,
una a cada uno de los dos casos de estudio
propuestos en la investigación siguiendo
el procedimiento sugerido por los autores
Flores-Tapia & Flores-Cevallos (2017a) y
Lind et al. (2012). Esto es una vez denido
el problema para la resolución de la pre-
gunta planteada por la gerencia, se utilizó
una prueba de hipótesis en cinco pasos,
esto es:
• Paso 1: formulación de las hipótesis
nula y alternativa.
• Paso 2: selección del nivel de signi-
cancia.
• Paso 3: decisión sobre el estadístico de
la prueba
• Paso 4: formulación de la regla de de-
cisión
• Paso 5: cálculo del estadístico y toma
de la decisión con respecto a la hipóte-
sis nula -no rechazar la hipótesis nula o
rechazar la hipótesis nula y aceptar la
alternativa-.
A continuación, se explica la metodología
para el cálculo de los estadísticos no pa-
ramétricos utilizados en cada uno de los
casos de estudio.
Prueba de Kolmogórov-Smirnov
Antes de proceder con la aplicación de la
prueba de Kolmogórov-Smirnov y la pre-
sentación de los resultados, se estableció
el enunciado o problema del estudio de
caso y las condiciones delmismo, en los
siguientes términos:
La empresa mayorista Lascano Sánchez
Importaciones revisa aleatoriamente 200
registros de pedidos por parte de sus clien-
tes minoristas con el n de determinar la
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frecuencia con que fueron requeridos pro-
ductos de bisutería, durante el mes de junio
de 2021. El número de clientes minoristas
que pidieron 0, 1, 2, 3 y 4 o más productos
de bisutería fueron 25,45,67,43 y 20 res-
pectivamente. Con esta información, los
directivos de la empresa necesitan saber
si los pedidos de los productos de su línea
estrella dieren entre lo efectivamente re-
gistrado y el número de pedidos esperado,
previo a tomar decisiones con respecto a la
gestión de inventarios.
Una vez denido el problema, a partir de la
formulación de la hipótesis nula y alterna-
tiva y denido el nivel de signicancia se
vericó el cumplimiento de los supuestos
que permiten la aplicación del estadísti-
co Kolmogórov-Smirnov o Dn; esto asu-
me que los parámetros de la distribución
se han especicado previamente y que la
media y la desviación estándar muestra-
les son los parámetros de la distribución
normal. Asimismo, se toma en cuenta que
los valores máximo y mínimo determinan
el rango de la distribución uniforme y la
media muestral determina el parámetro de
la distribución de Poisson y de la distribu-
ción exponencial. Posteriormente, una vez
enumeradas las observaciones se transfor-
maron a frecuencias acumuladas observa-
das relativas, siendo la fórmula de Poisson
para calcular las frecuencias esperadas la
Ecuación 3.
(3)
Donde:
p(x): probabilidad de tener exactamente x
ocurrencias.
λx: lambda (el número medio de presentacio-
nes por intervalos de tiempo) elevada a la x
potencia.
e-x: 2.71828 (base de los logaritmos neperia-
nos o naturales), elevada a la lambda poten-
cia negativa.
x!: x factorial.
Luego, se compararon las frecuencias re-
lativas esperadas con las relativas observa-
das y se estableció la diferencia o la des-
viación absoluta. Al ser una prueba KS de
una sola cola, se encontraron los valores
críticos en la tabla correspondiente para
el valor de signicancia especicado. Por
último, se compararon el valor calculado
Dn mediante la fórmula del estadístico Dn
con el valor crítico Dn encontrado en la ta-
bla y se tomó la decisión con respecto a
no rechazar la hipótesis nula o rechazar la
hipótesis nula y aceptar la alternativa.
Figura 1
Fases de la Investigación de Operaciones
1. Denición del problema de
interés y recolección de da-
tos relevantes.
4. Prueba del modelo y mejo-
ramiento de acuerdo con las
necesidades.
2. Formulación de un modelo
matemático que represente
el problema.
5. Preparación para la aplica-
ción del modelo prescrito
por la administración.
3. Desarrollo de un procedi-
miento basado en com-
putadora para derivar una
solución para el problema a
partir del modelo.
6. Implementación.
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Si bien se puede proceder al cálculo del es-
tadístico con el procedimiento convencio-
nal antes indicado, no obstante, también se
puede agilizar el cálculo utilizando tecno-
logía informática.
Prueba de bondad de ajuste Ji-cuadrada
Asimismo, como en el caso de la prueba
Kolmogórov-Smirnov, antes de proceder
con la aplicación de la prueba de Ji-cua-
drada y la presentación de los resultados,
se establece el enunciado del estudio de
caso y las condiciones del mismo en los
siguientes términos:
La gerencia de la Cooperativa de Ahorro y
Crédito Ambato Ltda. clasica a sus clien-
tes de microcrédito en las categorías pun-
tual, atrasado y moroso incobrable. Entre
los auditores en la zona central del Ecuador
se consideran que el promedio de micro-
crédito puntual tiene un promedio mensual
del 60%, atrasado el 30% y el 10% como
moroso incobrable. La cooperativa obje-
to de estudio realiza un reporte al mes de
junio de 2021 con un total de 500 micro-
créditos; de los cuales 320 se pagan pun-
tualmente, 120 están atrasados en el pago
y 60 se consideran con morosidad prácti-
camente incobrable. Con esta información,
la Gerencia está interesada en analizar si su
situación con respecto a los microcréditos
concuerda o no con el estándar del sector
cooperativo en la zona central del Ecuador.
El nivel de signicancia decidido para esta
indagación es del 5%.
Ahora bien, el primer paso en la prueba de
hipótesis consiste en formular las hipótesis
nula y alternativa y se escriben los conteos
de los datos en la tabla de contingencia
formada por las y columnas, describien-
do las dimensiones en función del número
de dichas las y columnas. Luego se deter-
minó la frecuencia esperada utilizando la
Ecuación 4:
(4)
Mientras que los grados de libertad se cal-
culan según la Ecuación 5.
gl= (Filas-1) (Columnas-1) (5)
Posteriormente se encuentra el valor crí-
tico en la tabla correspondiente, según el
nivel de signicancia y los grados de li-
bertad establecidos, y a continuación se
determinó el valor calculado mediante la
Ecuación x, antes indicada. Esto implica,
una vez que se dispone de los valores de
las frecuencias observadas y esperadas se
restan para cada una de las observaciones,
se eleva al cuadrado y se divide cada dife-
rencia al cuadrado para cada frecuencia es-
perada y se procede con la sumatoria de los
resultados. Por último, se aplicó la regla de
decisión de no rechazar la hipótesis si el
valor calculado es menor que el valor críti-
co de la tabla o rechazar la hipótesis nula y
aceptar la alternativa si el valor calculado
es mayor que el valor crítico.
Como se indicó en el caso de la prueba de
Kolmogórov-Smirnov, si bien se puede
proceder al cálculo del estadístico Ji-cua-
drada con el procedimiento convencional
antes detallado, no obstante, también se
puede agilizar el cálculo utilizando herra-
mientas informáticas.
Resultados y discusión
A continuación, se desarrolla la aplicación
y se muestran los resultados y discusión de
las pruebas de bondad de ajuste de Kolmo-
górov-Smirnov y Ji-cuadrada consideradas
para los casos de estudio.
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Pruebas de bondad de ajuste Kolmogórov-smirnov yPruebas de bondad de ajuste Kolmogórov-smirnov y
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Flores, C.; Flores, K.
Prueba de Kolmogórov-Smirnov
Siguiendo la metodología propuesta en
esta investigación y considerando para esta
prueba un nivel de signicancia del 5% y
un valor lambda λ de 1, las hipótesis nula y
alternativa se plantean así:
Ho: Una distribución de Poisson con
λ= 1 es una buena descripción del pa-
trón de pedidos para la empresa Lasca-
no Sánchez Importaciones.
H1: Una distribución de Poisson con
una media de λ= 1 no es una buena des-
cripción del patrón de pedidos para la
empresa Lascano Sánchez Importacio-
nes.
Se procede con la enumeración de los da-
tos observados estableciendo las frecuen-
cias observadas y las frecuencias acumu-
ladas observadas relativas y utilizando
la Ecuación x de Poisson se calculan las
frecuencias esperadas. Luego se estable-
cen las frecuencias acumuladas relativas
esperadas y las desviaciones absoluta, esto
es el valor absoluto de la diferencia entre
frecuencias esperadas y frecuencias acu-
muladas observadas y esperadas, tal como
se muestra en la Tabla 1.
Para el cálculo del estadístico KS se eli-
ge Dn = 0.385 en x=1 que corresponde a
la máxima desviación absoluta, esto es el
valor más alejado entre la distribución de
frecuencias observada y la distribución de
frecuencias esperada, al ser un estadístico
de distribución libre. Mientras que para
encontrar el valor crítico de Dn se recurre
a la tabla correspondiente y se ubica para
un nivel de signicancia de 0.05 propuesto
para este caso con n= 200, siendo:
Una vez que se cuenta con el valor calcu-
lado y el crítico de Dn se aplica la regla de
decisión. Esto es: rechazar H0 y aceptar la
H1 si el valor de la tabla es menor que el
calculado y si el valor de la tabla para el
nivel de signicancia elegido es mayor que
el valor calculado de Dn, no se rechaza la
hipótesis nula. Como en este caso el valor
Tabla 1
Desviación absoluta entre frecuencias acumuladas esperadas y observadas
Nota de la tabla: Elaboración propia a partir de los datos de la empresa Lascano Sánchez Importaciones.
Variable
(x)
Frecuencia
observada
Frecuencia
observada
acumulada
Frecuencia
observada
acumulada
relativa
Frecuencia
esperada
Frecuencia
esperada
acumulada
Frecuencia
esperada
acumulada
relativa
Desviación
absoluta
| Fe - Fo|
0 25 25 0.125 74 74 0.368 0.243
1 45 70 0.35 74 147 0.735 0.385
2 67 137 0.685 37 184 0.919 0.234
3 43 180 0.9 13 197 0.984 0.084
>4 20 200 1 3 200 1.000 0.000
122
Pruebas de bondad de ajuste Kolmogórov-smirnov yPruebas de bondad de ajuste Kolmogórov-smirnov y
ji-cuadrada aPlicadas a la toma de decisiones emPresarialesji-cuadrada aPlicadas a la toma de decisiones emPresariales
Flores, C.; Flores, K.
YACHANA Revista Cientíca, vol. 12, núm. 2 (julio-diciembre de 2023), pp. 113-127
Prueba de chi-cuadrada
Hipótesis nula H
0
: Los datos siguen una
distribución de Poisson
Hipótesis alterna H
1
: Los datos no siguen
una distribución de Poisson
El valor p 0.029 es menor que el nivel de
signicancia determinado para esta prue-
ba de 0.05; en consecuencia se rechaza la
hipótesis nula, esto es los datos no provie-
nen de una distribución de Poisson. Estos
resultados corroboran la decisión tomada
una vez aplicado el procedimiento anterior
calculado (0.385) es mayor que el valor de
la tabla (0.0962), por lo tanto se rechaza la
H0 y se acepta la hipótesis alternativa, los
datos no están bien descritos para una dis-
tribución de Poisson con una media de 1.
Si se realizan los cálculos utilizando el
software Minitab con la opción prueba de
bondad de ajuste para Poisson, los resulta-
dos son los siguientes:
Estadísticas descriptivas
N Media
200 1.94
Conteos observados y esperados para Variable (x)
y con esta información la Gerencia de la
empresa está en condiciones de tomar las
mejores decisiones con respecto a la ges-
tión de inventarios.
Prueba de bondad de ajuste Ji-cuadrada
Siguiendo la metodología propuesta en
esta investigación, las hipótesis nula y al-
ternativa son:
Ho: No hay diferencia entre las cifras
de la Cooperativa de Ahorro y Crédito
Ambato Ltda., con respecto a la pun-
tualidad en el pago de microcréditos y
el estándar del sector cooperativo en la
zona central del Ecuador.
H1: Hay diferencia entre las cifras de
la Cooperativa de Ahorro y Crédito
Ambato Ltda., con respecto a la pun-
tualidad en el pago de microcréditos y
el estándar del sector cooperativo en la
zona central del Ecuador.
Se formula la regla de decisión para recha-
zar o no la hipótesis nula para lo cual se esta-
blecen, primero, los grados de libertad, esto
es gl = 3-1=2 y, luego, se revisa la tabla co-
rrespondiente para el nivel de signicancia
de 0.05, siendo el valor crítico 5.991. Así,
la regla de decisión es rechazar la hipótesis
nula si λ
2
> 5.99 y aceptar la alternativa y,
si es menor, no se rechaza la hipótesis nula.
Posteriormente, se calcula el estadístico de
la prueba utilizando la Ecuación 6.
(6)
Siendo el estadístico calculado 9.33, tal
como se muestra en la Tabla 2.
Una vez que se tienen los valores de Ji-cua-
Varia-
ble
(x)
Probabili-
dad
de Poisson
Conteo
obser-
vado
Conteo
esperado
Contribu-
ción a
chi-cua-
drada
0 0.143704 25 28.7408 0.48689
1 0.278786 45 55.7571 2.07536
2 0.270422 67 54.0844 3.08429
3 0.174873 43 34.9746 1.84154
>=4 0.132215 20 26.4431 1.56991
123
Pruebas de bondad de ajuste Kolmogórov-smirnov yPruebas de bondad de ajuste Kolmogórov-smirnov y
ji-cuadrada aPlicadas a la toma de decisiones emPresarialesji-cuadrada aPlicadas a la toma de decisiones emPresariales
YACHANA Revista Cientíca, vol. 12, núm. 2 (julio-diciembre de 2023), pp. 113-127
Flores, C.; Flores, K.
drada de bondad de ajuste calculada y crí-
tico, se aplica la regla de decisión estable-
ciéndose en este caso que, como el valor
calculado (9.33) es mayor que el valor de
la tabla (5.99) se rechaza la hipótesis nula
y se acepta la hipótesis alternativa. Se con-
cluye que hay diferencia entre las cifras de
la Cooperativa de Ahorro y Crédito Amba-
to Ltda., con respecto a la puntualidad en
el pago de microcréditos y el estándar del
sector cooperativo en la zona central del
Ecuador. Se recomienda que la Gerencia
de la empresa objeto de estudio diseñe y
aplique estrategias de gestión de cartera
para optimizar los resultados y acercarse
al estándar referente del sector cooperativo
de ahorro y crédito.
También se llega al mismo resultado me-
diante el software Minitab con la opción
prueba Ji-cuadrada de bondad de ajuste
(una variable).
Estos resultados corroboran la decisión
tomada una vez aplicado el procedimien-
to anterior, por cuanto el valor p de 0.009
es menor que el nivel de signicancia de
Conteos observados y esperados
Categoría Obser-
vado
Propor-
ción
de prueba
Esperado
Contribu-
ción a
chi-cua-
drada
Puntual 320 0.6 300 1.33333
Atrasa-
do 120 0.3 150 6.00000
Moroso
incobra-
ble
60 0.1 50 2.00000
Prueba de chi-cuadrada
0.05; consecuentemente se rechaza la hi-
pótesis nula y se acepta la alternativa. Se
puede concluir que hay diferencia entre las
cifras de la Cooperativa de Ahorro y Cré-
dito Ambato Ltda., con respecto a la pun-
tualidad en el pago de microcréditos y el
estándar del sector cooperativo en la zona
central del Ecuador.
Entre los estudios relacionados con la apli-
cación de las dos pruebas de bondad de
ajuste contempladas en este estudio se des-
taca Silva & Galicia (2018), quienes utili-
zan la prueba Kolmogórov-Smirnov (KS),
la Anderson-Darling (AD) y la Ji cuadra-
da (χ2) con una signicancia del 1%, para
ajustar las discrepancias entre percepción y
aspiración en cuanto a su gura corporal,
por sexo y estado, para muestras tomadas
de la Encuesta Nacional de Salud y Nutri-
ción de México, constatándose una percep-
ción errónea y aspiración sistemática hete-
rogéneas frente a un escenario de obesidad
y sobrepeso de la mayor parte de la pobla-
ción mexicana. Así también, Ocampo et al.
(2017), determinan la vida útil de un diseño
de sensor de combustible desarrollado por
la industria automotriz de Ciudad Juárez
midiendo la degradación del componente
de oro de dicho sensor para lo cual analizan
el comportamiento de los datos obtenidos
estimando los tiempos de falla aplicando
la prueba de bondad de ajuste de Kolmo-
górov-Smirnov.
Otro autor, Rolke y Gongora (2020) expli-
ca el menor nivel de potencia de la prueba
de bondad de ajuste Ji-cuadrada aplicada a
datos continuos con respecto a las pruebas
de Kolmogórov-Smirnov y Anderson-Dar-
ling. No obstante, el poder de Ji-cuadrada
depende básicamente de la forma cómo es-
tén agrupados los datos, siendo en ese caso
competitiva e incluso superior a las otras
pruebas estándar señaladas.
124
Pruebas de bondad de ajuste Kolmogórov-smirnov yPruebas de bondad de ajuste Kolmogórov-smirnov y
ji-cuadrada aPlicadas a la toma de decisiones emPresarialesji-cuadrada aPlicadas a la toma de decisiones emPresariales
Flores, C.; Flores, K.
YACHANA Revista Cientíca, vol. 12, núm. 2 (julio-diciembre de 2023), pp. 113-127
Nota de la tabla: Elaboración propia a partir de los datos de la Cooperativa de Ahorro y Crédito Ambato Ltda.
Tabla 2
Cálculo del estadístico de bondad de ajuste Ji-cuadrada
Tipo de cliente
microcrédito
Frecuencia
observada
(Fo)
Estándar en la
zona central
del Ecuador
Frecuencia
esperada
(Fe)
(Fo-Fe) (Fo-Fe)
^2 (Fo-Fe) ^2/Fe
Puntual 320 0.6 300 20 400 1.33
Atrasado 120 0.3 150 -30 900 6.00
Moroso incobrable 60 0.1 50 10 100 2.00
500 1 500 0 9.33
Por su parte, Flores-Tapia & Flores-Ceva-
llos (2021b) presentan un estudio de casos
en los cuales se determina la normalidad
de los datos aplicados a los datos muestra-
les provenientes de las empresas objeto de
estudio, procedimiento estadístico previo
a la aplicación a la toma de decisión con
respecto a la aplicación de una prueba pa-
ramétrica o una no paramétrica, a la vez
que se demuestra la utilidad de estas prue-
bas en estudios de caso empresariales.
Mientras González-Zamar et al. (2021)
emplean la prueba de bondad de ajuste
Ji-cuadrada para analizar los ítems cuali-
tativos con respecto a la incidencia de al-
gunos atributos del espacio de aprendizaje
en la motivación e interacción social con-
cluyendo que el instrumento utilizado para
dicho análisis cumple con los requisitos
técnicos que garantizan la conabilidad y
validez para la medición. Asimismo, Díaz
et al. (2020), estudian la incidencia de las
variables de innovación en el desarrollo de
unidades de producción agrícola familiar
para cultivos en distintas localidades de
Oaxaca- México y mediante pruebas de
bondad de ajuste Ji-cuadrada y un enfo-
que sistémico concluyen que los tipos de
innovación están relacionados con el cul-
tivo y son independientes de la localidad
de siembra.
No obstante, en los estudios antes referidos
no se utiliza un procedimiento metodoló-
gico aplicando los dos tipos de pruebas
de bondad de ajuste priorizadas en este
estudio -prueba de Kolmogórov-Smirnov
y prueba Ji-cuadrada- en sendos estudios
de casos empresariales referidos a la bús-
queda de respuesta a las inquietudes de la
Gerencia como se realiza en la presente
investigación.
Los resultados obtenidos en la investiga-
ción muestran valores cuantitativos que,
siguiendo la metodología aquí aplicada
permiten a los gerentes contar con datos
cuantitativos para la toma de mejores deci-
siones destacándose, a su vez, la importan-
cia de la aplicación de pruebas de bondad
de ajuste con este n. Asimismo, todo lo
anterior evidencia que los resultados del
estudio son consistentes con la teoría ex-
plicada por Flores-Tapia & Flores-Ceva-
llos (2017b); Levin et al. (2017); Lind et
al. (2012); Triola (2018); Vergara y Maza
(2018), entre otros.
Conclusiones
Las pruebas de bondad de ajuste en este
estudio presentan soluciones prelimina-
res para las empresas objeto de estudio.
En tal sentido, se verica la utilidad de
las pruebas de bondad de ajuste, Kolmo-
125
Pruebas de bondad de ajuste Kolmogórov-smirnov yPruebas de bondad de ajuste Kolmogórov-smirnov y
ji-cuadrada aPlicadas a la toma de decisiones emPresarialesji-cuadrada aPlicadas a la toma de decisiones emPresariales
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Flores, C.; Flores, K.
górov-Smirnov y Ji-cuadrada para contras-
tar hipótesis que les permita a las empresas
tomar mejores decisiones. En tal sentido, a
lo largo del artículo se ha ido alcanzando
el objetivo de la investigación, esto es se
ha dado respuesta a cada una de las inquie-
tudes de la Gerencia de las empresas obje-
to de estudio en función de los resultados
obtenidos en cada caso. Se ha constatado
para la empresa Lascano Sánchez Importa-
ciones que las solicitudes de los productos
de la línea estrella -bisutería- por parte de
sus clientes minoristas tienen una diferen-
cia signicativa entre la distribución de
frecuencias observadas y las esperadas o
teóricas y para la Cooperativa de Ahorro
y Crédito Ambato Ltda. se ha comproba-
do que el nivel de cumplimiento de pagos
del microcrédito por parte de sus clientes
con respecto al promedio de cumplimiento
de pagos del sector cooperativo en la zona
central del Ecuador es diferente.
Se evidencia, por tanto, la ventaja de este
tipo de pruebas en casos empresariales en
los cuales se requiere comparar conteos
observados y esperados o teóricos. De tal
manera que la empresa Lascano Sánchez
Importaciones tendrá que realizar ajustes
en la gestión de inventarios y así reducir
el margen entre el número de unidades
pedidas con respecto a las efectivamente
vendidas y, en el caso de la Cooperativa
de Ahorro y Crédito Ambato Ltda., los
tomadores de decisiones también tendrán
que tomar medidas de gestión de cartera
para que la puntualidad en el pago de mi-
crocréditos se ajuste al estándar del sector
cooperativo en la zona central del Ecuador.
Si bien las pruebas de bondad de ajuste
contribuyen a la solución de situaciones
como las contempladas en esta investiga-
ción, no obstante no está exenta de limita-
ciones propias tales como la presencia de
una frecuencia esperada pequeña inusual
porque pueden dar paso a una conclusión
errónea. Lo anterior no signica que su uti-
lidad es cuestionable, ya que los tomadores
de decisiones empresariales utilizan esta
información para diseñar modelos estadís-
ticos que optimicen la gestión en entornos
con ciertos niveles de incertidumbre.
Finalmente, se recomienda para futuras
investigaciones llevar a cabo estudios
empleando métodos cuantitativos de si-
mulación para calcular el óptimo en la
cantidad de pedido en casos similares al
de la empresa el caso de la empresa Las-
cano Sánchez Importaciones y evaluar sus
resultados cotejándolos con los obtenidos
mediante distribuciones empíricas con el
n de contar con mayor información para
la toma de decisiones gerenciales relacio-
nadas con la gestión de inventarios en las
empresas.
Declaración de conictos de intereses
Los autores declaran que no existen nin-
gún conicto de intereses relacionado con
el presente artículo.
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Para referenciar este artículo utilice el siguiente formato:
Flores, C., & Flores, K. (2023, julio-diciembre). Pruebas de bondad de ajuste Kolmogórov-Smirnov y
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